Integratoren

Momentenplanimeter

Die einfachsten Integratoren sind Planimeter. Sie bestimmen die Fläche einer geschlossenen Kurve. Jakob Amsler hat aber auch Geräte mit bis zu vier Messwerken entwickelt, welche in der Lage sind, neben der Fläche auch höhere Momente einer ebenen Figur wie den Schwerpunkte oder Trägheitsmomente bezüglich einer wählbaren Momentenachse zu bestimmen. Solche Geräte werden Integratoren oder Momentenplanimeter genannt.

Amsler Integrator

Integrator von Jakob Amsler (ca. 1885)

Alle Integratoren sind ähnlich aufgebaut.Sie bestehen aus einer Stahlschiene mit Nut, in welcher sich ein Wagen mit dem Fahrarm und den verschiedenen Messwerken bewegen lässt. Die Messwerke sind über verzahnte Räder und Segmente miteinander gekoppelt. Mit Hilfe von zwei Distanzlehren wird die Schiene parallel zur gewünschten Momenten­achse auf der Zeichnung positioniert. Anschliessend wird die Figur, genau gleich wir beim gewöhnlichen Planimeter, mit der Spitze des Fahrarmes umfahren und für jedes Messwerk die Differenz der Ablesung vor und nach der Messung bestimmt. Mit Hilfe einfacher Formeln lassen sich daraus dann die gesuchten Momente bestimmen. Integratoren wurden unter anderem im Maschinenbau zur Berechnung von Trägheitsmomenten von Rotationskörpern, im Schiffbau für Stabilitätsberechnungen oder in der Ballistik zur Bestimmung von Geschosseigenschaften verwendet.

Integraphen

Coradi Integraph

Integraph von Gottlieb Coradi (1897)

Ebenfalls zu den Integratoren gehören die Integraphen. Diese Geräte besitzen einen Fahr- und einen Zeichenstift. Wird mit dem Fahrstift einer vorgegebenen Kurve entlang gefahren, so zeichnet der Zeichenstift die dazugehörige Integralkurve. Die Idee für soche Geräte stammt vom polnischen Mathematiker Bruno Abdank-Abakanowicz (1852-1900).

Da mit Integraphen nahezu jede Funktion integriert werden kann, eignen sich diese Geräte nicht nur zur Bestimmung von Flächen, Schwerpunkten oder Trägheits­momenten, sondern für eine Vielzahl weiterer Aufgaben des Ingenieuralltags. Ein grosser Vorteil der Integraphen besteht zudem darin, dass das Resultat einer Integration als Kurve vorliegt, die wiederum als Eingabe für eine weitere Integration verwendet werden kann, wodurch Mehrfachintegrale möglich sind. Integraphen wurden beispielsweise im Schiffs- und Brückenbau, in der Optik oder der Ballistik eingesetzt.

Harmonische Analysatoren

Die Fourier-Analyse dient dazu, eine periodische Funktion (meist ein grafisch vorliegender Messverlauf) in harmonische Schwingungen (Sinus- und Cosinusschwingungen) zu zerlegen, d.h. ihre Fourier-Koeffizienten an und bn zu bestimmen. Heute löst diese Aufgabe der Computer auf der Basis der diskreten Fourier-Transformation. Früher wurden dafür komplizierte mechanische Apparate verwendet, sogenannte harmonische Analysatoren.

Harmonische Analysatoren sind in der Lage, mit Hilfe eines verstellbaren Räderwerks eine begrenzte Anzahl Koeffizientenpaare an / bn zu bestimmen. Dazu muss der harmonische Analysator für jeden Koeffizienten entsprechend eingestellt werden. Anschliessend wird die Fläche, welche durch die zu analysierende Kurve sowie ihre Basislinie gebildet wird, wie mit einem Planimeter umfahren. Aus der Differenz der Geräteablesung vor und nach dem Umfahren ergibt sich der Koeffizient. Es gibt verschiedene Bauweisen von harmonischen Analysatoren. Die bekanntesten sind der Analysator Mader-Ott, der Analysator Henrici-Coradi sowie der Analysator nach Harvey (Konstruktion durch Alfred J. Amsler & Co.). Der Analysator Henrici-Coradi liefert mit einer Messung beide Fourier-Koeffizienten an und bn. Zudem hat Coradi auch Geräte mit drei oder fünf Messwerken konstruiert, welche pro Messung drei bzw. fünf Koeffizientenpaare gleichzeitig bestimmen.

Referenzen

[1]

J. Amsler

Ueber die mechanische Bestimmung des Flächeninhalts, der statischen Momente und der Trägheitsmomente ebener Figuren insbesondere über einen neuen Planimeter. Abgedruckt aus der Vierteljahresschrift der naturforschenden Gesellschaft in Zürich, Schaffhausen (1856).
[2]

B. Abdank-Abakanowicz

Les Intégraphes. La Courbe Intégrale et ses Applications. Paris (1886).
[3]

B. Abdank-Abakanowicz

Die Integraphen. Die Integralkurve und ihre Anwendungen. Leipzig (1889).
[4]

J. Amsler-Laffon & Sohn

Anleitung zum Gebrauch der Integratoren. Schaffhausen Schweiz (1909).
[5]

H. Lossier

Der Integraph Abdank-Abakanowicz. Herausgegeben von G. Coradi, Zürich (1911).
[6]

D. Miller

The Henrici Harmonic Analyzer and Devices for Extending and Facilitating its Use. In: Journal of the Franklin Institute, 182/3 (1916), S. 285-322.
[7]

A. Galle

Neuere Integraphen. In: Zeitschrift für angewandte Mathematik und Mechanik, Band 2 (1922), S. 458-466.
[8]

J. Harvey

A Harmonic Analyzer. In: Proceedings of the Physical Society, 42/3 (1929/30), S. 245-250.
[9]

J. Harvey

Harvey Harmonic Analyser. Reprinted from "ENGINEERING", Dec. 21, 1934. Alfred J. Amsler & Co. Schaffhouse Switzerland (1934).
[10]

J. Harvey

Un nouvel analyseur harmonique. In: Le génie civil, Tome 105, No. 24 (1934), S. 552-555.
[11]

L. Barbillion

Un nouvel analyseur harmonique basé sur le pricipe du planimètre polaire. In: La Houille Blanche (1935), S. 171-173.
[12]

A. Walther

Mathematische Geräte zum Integrieren. In: Zeitschrift des Vereins Deutscher Ingenieure, Band 80, Nr. 47 (1936), S. 1397-1403.
[13]

A.J. Amsler

Harmonischer Analysator (System Harvey). In: Zeitschrift für Instrumentenkunde, Band 59 (1939), S. 288-293.
[14]

H. Schilt

Integrieren mit dem Integraphen Coradi System Abdank-Abakanowicz. Aufgaben aus der Technik mit Lösungsbeispielen. Herausgegeben von G. Coradi, Zürich (1950).